Calculo Diferencial: Serie Finita criterio D'Alembert y Cauchy

En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos

a n

como $\sum_{i=1}^n a_i$ donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, $i = 1,2,3,\ldots$ .
Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si $\lim_{n\to \infty} \, \, \sum_{i=1}^n a_i$ no existe o si tiende a infinito; puede converger si $\lim_{n\to \infty} \, \, \sum_{i=1}^n a_i = L$ para algún $L \in \mathbb{R}$ .

Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón)

Sea una serie $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ , tal que

a k > 0

( serie de términos positivos).
Si existe

$\lim_{k \rightarrow \infty} \frac {a_k}{a_{k-1}}=L$

con $L \, \in \, [0, +\infty)$ , el Criterio de D'Alembert establece que:

si $L < 1$ , la serie converge.
si $L > 1$ , entonces la serie diverge.
si $L = 1$ , no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Artículo principal: Criterio de la raíz

Sea una serie $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ , tal que

a k > 0

(serie de términos positivos). Y supongamos que existe

$\lim_{k \rightarrow \infty} \sqrt [k] {a_k}=L$ , siendo $L \, \in \, [0, +\infty)$

Entonces, si:

$L < 1$ , la serie es convergente.
$L > 1$ entonces la serie es divergente.
$L$ =1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.

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Calculo Diferencial

lunes, 6 de junio de 2011

Serie Finita criterio D'Alembert y Cauchy

Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón)

Criterio de Cauchy (raíz enésima)

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