martes, 26 de junio de 2012

4.2.1 Metodo de Euler


Consiste en dividir los intervalos que va de x_o\,  a x_f\,  en n\,  subintervalos de ancho h\, ; osea:
h = {x_f - x_o \over n}\,
de manera que se obtiene un conjunto discreto de  n+1 \, puntos:  x_o, x_1, x_2,.......,x_n\, del intervalo de interes  [x_o,x_f]\, . Para cualquiera de estos puntos se cumlple que:

x_i = {x_0 + ih}, \,  0 \le i \le n \,.

La condición inicial  y(x_o) = y_o \,, representa el punto  P_o = (x_o, y_o)\, por donde pasa la curva solución de la ecuación de el planteamiento inicial, la cual se denotará como  F(x)= y \,.
Ya teniendo el punto  P_o\, se puede evaluar la primera derivada de  F(x)\, en ese punto; por lo tanto:

F'(x) = {dy\over dx} \bigg\vert\begin{matrix}\\{P_o}\end{matrix} = f(x_o,y_o)\,

Grafica A.
Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por  P_o\, y de pendiente  f(x_o, y_o)\,. Esta recta aproxima  F(x)\, en una vecinidad de  x_o \,. Tómese la recta como reemplazo de  F(x) \, y localícese en ella (la recta) el valor de y correspondiente a x_1\,. Entonces, podemos deducir segun la Gráfica A:

{y_1 - y_o\over x_1 - x_o} = f(x_o,y_o) \,

Se resuelve para  y_1\,:
y_1 = y_o+(x_1 - x_o) f (x_o,y_o) = y_o + h f(x_o, y_o) \,

Es evidente que la ordenada  y_1 \, calculada de esta manera no es igual a  F (x_1)\,, pues existe un pequeño error. Sin embargo, el valor  y_1 \, sirve para que se aproxime  F' (x) \,en el punto  P = (x_1,y_1)\, y repetir el procedimiento anterior a fin de generar la sucesión de aproximaciones siguiente:
\begin{array}{crl} y_1 = y_o + h f (x_o,y_o)\\ y_2 = y_1 + h f (x_1,y_1)\\ .\\ .\\ .\\ y_{i+1} = y_i + h f (x_i,y_i)\\ .\\ .\\ .\\ y_n = y_{n-1} + h f (x_{n-1},y_{n-1})\\ \end{array} \quad \,
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