Calculo Diferencial: junio 2011

lunes, 27 de junio de 2011

Longitud de Curvas

La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible.

Definición:

Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave.

Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras y (dL)²=(dx)²+(dy)², de tal forma que sumando todos los diferenciales resulta:

Definición:

Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:

http://www.mitecnologico.com/Main/LongitudDeCurvas

lunes, 6 de junio de 2011

Serie Finita criterio D'Alembert y Cauchy

En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos

a n

como $\sum_{i=1}^n a_i$ donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, $i = 1,2,3,\ldots$ .
Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si $\lim_{n\to \infty} \, \, \sum_{i=1}^n a_i$ no existe o si tiende a infinito; puede converger si $\lim_{n\to \infty} \, \, \sum_{i=1}^n a_i = L$ para algún $L \in \mathbb{R}$ .

Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón)

Sea una serie $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ , tal que

a k > 0

( serie de términos positivos).
Si existe

$\lim_{k \rightarrow \infty} \frac {a_k}{a_{k-1}}=L$

con $L \, \in \, [0, +\infty)$ , el Criterio de D'Alembert establece que:

si $L < 1$ , la serie converge.
si $L > 1$ , entonces la serie diverge.
si $L = 1$ , no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Artículo principal: Criterio de la raíz

Sea una serie $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ , tal que

a k > 0

(serie de términos positivos). Y supongamos que existe

$\lim_{k \rightarrow \infty} \sqrt [k] {a_k}=L$ , siendo $L \, \in \, [0, +\infty)$

Entonces, si:

$L < 1$ , la serie es convergente.
$L > 1$ entonces la serie es divergente.
$L$ =1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.

Wikipedia La enciclopedia Libre

miércoles, 1 de junio de 2011

Serie de Potencias

Muchos problemas matem´aticos, f´ısicos, econ´omicos, etc. convienen expresarlos
como suma de una serie de potencias. Este recurso es especialmente ´util en
los casos en los que la funci´on no es elemental; al disponer de su representaci´on
en series de potencias, es posible analizarla, estudiando sus propiedades y su
comportamiento.
Definiciones y propiedades basicas
Definicion. Se llama serie de potencias a una serie funcional de la forma

∑_(n=0)^∞▒anXn

siendo an y x numeros reales.
Como vemos, en cierto modo, una serie de potencias consiste en una especie
de “polinomio con infinitos terminos”.

Ejemplos de series de potencias

• La serie geométrica ∑_(n=0)^∞▒x^n es una serie de potencias absolutamente convergente
si |x| < 1 y no convergente si |x| ≥1. Nota. Usar el criterio del cociente. La serie de potencias ∑_(n=1)^∞▒(x¦n)n es absolutamente convergente para todo ×⋲lR Nota. Usar el criterio de la raız. La serie de potencias ∑_(n=0)^∞▒〖(nx)〗^n solamente converge para x = 0. Serie de potencias Σ anxn Determinación del radio de convergencia R D'Alembert: L = lim |an+1/an| Cauchy: n __ L = \|an L distinto de 0 => R = 1/L
L = +inf => R = 0
L = 0 => R = +inf
D ? C ? D
-----|-----|-----
-R R
Se debe clasificar en x=R y x=-R

http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r44024.PDF

Cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se refieren a la realidad.

Calculo Diferencial